Carré d'un nombre et les identités remarquables

Publié le par Demat - des maths

Partie 1 - Le carré d'un nombre

 

On appelle le carré d'un nombre, le nombre multiplié par lui-même.

 On note un 2 au-dessus du nombre x, et on lit "x au carré".
x² = x.x
(le . correspond à la multiplication.
Attention à ne pas confondre l'inconnue x avec le symbole de la multiplication)

Exemples : 5² = 5 . 5 = 25 ; 132² = 132 x 132 = 17 424

 

Exercice 1 : Calcule le carré de tous les chiffres : 0; 1; 2; ... ; 9

Exercice 2 : Choisis trois nombres et calcule leurs carrés.

 

 

Partie 2 - Les identités remarquables

Pour calculer plus facilement des carrés, pour factoriser des expressions compliquées, il existe trois formules, appelées identités remarquables.

L'une des identités remarquables est le carré d'une somme.

(a+b)² = a² + 2.a.b + b²   où a et b sont des nombres 

Exemple : 24² = ( 20 + 4 )² = 20² + 2x20x4 + 4² = 400 + 160 + 16 = 576

Démonstration 1 : 
Par le calcul, en utilisant la définition du carré de (a+b) : 

(a+b)² = (a+b)x(a+b)   avec la double distributivité du produit, on obtient :

(a+b)² = a² + a.b + b.a + b²  avec a.b=b.a on obtient

(a+b)² = a² + 2.a.b + b²

Démonstration 2 (exercice) : Démontrer géométriquement l'identité remarquable "carré d'une somme" en calculant l'aire d'un carré de côté (a+b).

 

 

 

La seconde identité remarquable est le carré d'une différence.

(a-b)² = a² - 2.a.b + b² où a et b sont des nombres

Exemple : 24² = (30-6)² = 30² - 2x30x6 + 6² = 900 - 360 +36 = 576

Démonstration (exercice) : Démontrer l'identité remarquable le carré d'une différence en calculant comme le carré d'une somme

(a-b)² = (a+(-b))²

et en utilisant l'identité remarquable précédente le carré d'une somme. 

 

 

 

La dernière identité remarquable est la différence de deux carrés.

a²-b² = (a-b)(a+b) où a et b sont des nombres

Exemple : 17²-3² = (17-3)(17+3) = 14x20 = 280

Démonstration : Par le calcul, on développe (double distributivité):

(a-b)(a+b) = a² + a.b - a.b - b² = a² - b²

Exercice : Calculer mentalement les calculs suivants :

31x29 = ... ; 48x52 = ... ; 73x67 = ... ; 60² - 10² = ...

Publié dans Enseignement

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M
Bonjour,<br /> <br /> je cherche à différencier deux identités remarquables à appliquer selon l'exemple ci-dessous:<br /> <br /> (4x-1)²; dois je prendre (a-b)² ou a²-b²?<br /> <br /> Merci de m'éclairer. Cordialement
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N
Pour (4x-1)^2 il faut que tu utilises (a-b)^2<br /> parce que l'on Remarque que cette formule est de la même forme (parenthèses, soustraction)<br /> en prenant a=4x et b=1 (c'est-à-dire on remplace a par 4x et b par 1)<br /> il reste ensuite à écrire la 2e partie de la formule et de remplacer, puis calculer.<br /> <br /> J'espère t'avoir apporté des éléments de réponse.<br /> Cordialement
I
Cet article montre bien le lien entre les identités remarquables et le calcul mental. C'est-à-dire qu'il propose une utilisation intelligente des identités remarquables appliquées aux méthodes de<br /> calcul.<br /> <br /> Trop souvent malheureusement les identités remarquables sont enseignées au collège sous forme de listes à apprendre par coeur. On donne aux élèves des "recettes de cuisine" toutes prêtes en vue du<br /> Brevet, et on ne se soucie pas de les faires réfléchir outre mesure. Ils sont capables de réciter les identités remarquables, mais incapables de les utiliser dans une démonstration.<br /> <br /> Je vous remercie donc pour ce bel article sur les identités remarquables qui montrera à nos enfants que les mathématiques ne sont pas une science de "chiens savants" apprenant sans comprendre.
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